Introducción
Esta investigación tiene como propósito conocer las diferentes características y aplicaciones de la topología. Además, pretende estudiar y analizar las propiedades fundamentales de un espacio topológico, desarrollar el concepto de conjunto abierto, y distinguir diferentes espacios topológicos (homeomorfismos, conectividad, compacidad, etc.).
Equivalencia Topológica
Se dice que dos objetos son topológicamente equivalentes si al estirarse o deformarlos de algún modo, pero sin llegar a cortarlo o romperlo se puede convertir en otro equivalente.
Breve Historia: El Problema de Königsberg
En 1736, el matemático suizo Leonard Euler analizó si era posible cruzar los 7 puentes de la ciudad de Königsberg sin pasar dos veces por el mismo. Advirtió que las distancias eran irrelevantes y convirtió el mapa en un grafo.
Figura: Representación del grafo de los puentes
«Topología es una geometría no métrica, donde no interesa la distancia solo importa los aspectos cualitativos de los objetos.»
Teoría de Conjuntos
Definición: Agrupación de objetos con propiedades comunes. Si x es un elemento de A, se escribe x ∈ A.
Operaciones con Conjuntos (Diagramas de Venn)
Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {2, 4, 6, 8, 10}.
Intersección (A ∩ B)
{2, 4, 6}
Unión (A ∪ B)
{1,2,3,4,5,6,8,10}
Diferencia (A – B)
{1, 3, 5}
Leyes de De Morgan
Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección.
Primera Ley: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (Lo que está fuera de A y B)
Funciones
Relación entre un Dominio (X) y un Codominio (Y) donde a cada elemento de X le corresponde un único elemento f(x) en Y.
Ejemplo: NO es una Función
(Un elemento del dominio tiene dos imágenes)
1. Función Inyectiva (Uno a Uno)
A cada elemento de llegada le corresponde como máximo un elemento de partida.
Es Inyectiva (elementos distintos tienen imágenes distintas)
2. Función Sobreyectiva
El Rango es igual al Conjunto de Llegada. No sobran elementos en el conjunto de llegada.
Es Sobreyectiva
(Todos los elementos de llegada reciben flecha)
No es Sobreyectiva
(El elemento ‘c’ sobra)
3. Función Biyectiva
Es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Correspondencia perfecta uno a uno.
Es Biyectiva (Perfecta correspondencia)